高等数学（上）

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高等数学（上）一. 函数与极限1.1 集合与函数映射与函数函数的特性反函数复合函数初等函数1.2 数列的极限数列数列的极限数列极限的性质1.3 函数的极限函数极限的性质1.4 无穷大与无穷小无穷小无穷大无穷大与无穷小之间的关系1.5 极限运算法则1.6 极限存在准则两个重要极限夹逼准则柯西极限存在准则重要极限1.7 无穷小的比较1.8 函数的连续性与间断点函数的连续性函数的间断点1.9 连续函数的运算与初等函数的连续性连续函数的和、差、积、商的连续性反函数与复合函数的连续性初等函数的连续性1.10 闭区间上连续函数的性质有界性与最大值和最小值定理零点定理和介值定理一致连续性1.10-1 求极限的方法总结定义法夹逼定理无穷小量的代换函数的连续洛必达法则泰勒展开二. 导数与微分2.1 导数的概念导数的概念单侧导数函数可导性与连续性的关系2.2 导数的运算法则及基本公式导数的运算法则运算公式2.3 高阶导数常见高阶导数公式2.4 隐函数与参数方程导数隐函数求导参数方程求导相关变化率2.5 函数的微分微分的定义微分的基本公式和运算法则复合函数的微分近似计算误差估计三. 中值定理与导数的应用3.1 微分中值定理罗尔定理拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理的证明柯西中值定理柯西中值定理的证明3.2 洛必达法则洛必达法则定义定理洛必达法则的证明其他形式的未定式3.3 泰勒公式问题的提出泰勒中值定理余项的表示麦克劳林公式一些函数带有拉格朗日余项的 $n$ 阶麦克劳林公式3.4 函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性曲线的凹凸性与拐点3.5 函数的极值与最值函数的极值及其求法求区间内的极值点和对应的极值最大值最小值问题3.6 函数图形的描绘列表3.7 曲率弧微分曲率及其计算公式曲率圆与曲率半径3.8 方程的近似解二分法切线法割线法四. 不定积分4.1 不定积分的概念与性质不定积分的概念积分表不定积分的性质4.2 换元积分法第一类换元法（凑微分法）第二类换元法4.3 分部积分法方法常见类型4.4 有理函数的积分有理函数有理函数积分一般步骤三角有理式的积分4.5 积分表的应用补充积分表五. 定积分5.1 定积分的概念与性质定积分问题举例定积分的定义定积分的近似计算矩形法梯形法抛物线法（辛普森法）定积分的性质5.2 微积分基本公式积分上限函数及其导数牛顿-莱布尼茨公式5.3 定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法定积分的分部积分法5.4 反常积分无穷限的反常积分无界函数的反常积分5.5 反常积分的审敛法 $\Gamma$ 函数无穷限反常积分的审敛法无界函数的反常积分审敛法 $\Gamma$ 函数定积分的应用6.1 定积分的元素法6.2 定积分在几何学上的应用平面图形的面积体积平面曲线的弧长6.3 定积分在物理上的应用变力沿直线所作的功水压力引力七. 微分方程7.1 微分方程的基本概念7.2 可分离变量的微分方程7.3 齐次方程齐次方程可化为齐次的方程7.4 一阶线性微分方程线性方程伯努利方程7.5 可降阶的高阶微分方程 $y^{(n)}=f(x)$ 型微分方程 $y''=f(x, y')$ 型微分方程 $y''=(y,\ y')$ 型微分方程7.6 高阶线性微分方程二阶线性微分方程举例线性微分方程解的结构常数变易法7.7 常系数齐次线性微分方程7.8 常系数非齐次线性微分方程一、 $f(x)=e^{\lambda x}P_m(x)$ 二、 $f(x)=e^{\lambda x}[P_1(x)\cos\omega x+Q_n(x)\sin\omega x]$ 7.9 欧拉方程7.10 常系数线性微分方程组解法举例

一. 函数与极限

1.1 集合与函数

集合的概念：略
集合的运算：
- $A \bigcup B$
- $A \bigcap B$
- $A \setminus B$
- $I$ $A^C = I \setminus A = \{x \mid x \notin A\}$
- $A \times B = \{(x,y) \mid x \in A \ and \ y \in B\}$
区间：略
$a$ $a$ $\delta$ $U(a,\delta)$ 。即表示为：
${x ∣ | x - a | < δ, δ > 0}$
$\mathring U (a,\delta)$

映射与函数

$f$ $X$ $x$ $Y$ $y$ 与之对应，记作：
$f : X \to Y$
$f$ $R_f$ $f(X)$ ，即：
$R_{f} = {y ∣ y = f (x), x \in X}$
$D \in \mathbb{R}$ $D$ 上的函数，简记为：
$y = f (x), x \in D$

函数的特性

$f(x)$ $D$ $x\in D$ ，
$f (- x) = f (x)$
$f(x)$ $x\in D$ ，
$f (- x) = - f (x)$
$f(x)$ 为奇函数。
$f(x)$ $X$ 上有上界：
$\forall x \in X, \exists B_{1}, f (x) ⩽ B_{1}$
$f(x)$ $X$ 上有下界：
$\forall x \in X, \exists B_{2}, f (x) ⩾ B_{2}$
函数有界：
$\forall x \in X, \exists M, ∣ f (x) ∣⩽ M$
$D$ $I \subset D$ $I$ $x_1,\ x_2$ $x_1 < x_2$ 时，恒有：
$f (x_{1}) < f (x_{2})$
$f(x)$ $I$ 上单调增加的；如果恒有：
$f (x_{1}) > f (x_{2})$
$f(x)$ $I$ 上单调减少的。单调递增和单调递减的函数统称为单调函数。
$f(x)$ $D$ $l$ $x \in D$ $(x\pm l)\in D$ ，且：
$f (x + l) = f (x)$
$f(x)$ $l$ 成为函数的周期（最小正周期）。

反函数

$f:D\rarr f(D)$ $f^{-1}:f(D)\rarr D$ $f$ $y\in f(D)$ $x\in D$ $f(x)=y$ ，有：

x = f^{- 1} (y)

则互为反函数。

复合函数

$y=f(u)$ $D_f$ $u=g(x)$ $D_g$ $R_g\sub D_f$ ，则：

y = f [g (x)], x \in D

$u=g(x)$ $y=f(u)$ $D_g$ $u$ $f \circ g$

初等函数

$y=x^\mu(\mu \in \mathbb{R})$
$y=a^x(a>0,a \neq 1)$
$y=log_a x(a>0,a \neq 1)$
$\sin \theta, \cos \theta, \tan \theta, \cot \theta, \sec \theta, \mathrm{cec} \theta$

反三角函数

函数	定义域	值域
$y=\arcsin x$	$[-1,1]$	$[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$
$y=\arccos x$	$[-1,1]$	$[0,\pi]$
$y=\arctan x$	$(-\infty,+\infty)$	$(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$
$y=\mathrm{arc}\cot x$	$(-\infty,+\infty)$	$(0,\pi)$

双曲函数：
- $\mathrm{sh}\ x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$
- $\mathrm{ch}\ x=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$
- $\mathrm{th}\ x=\frac{\mathrm{sh}\ x}{\mathrm{ch}\ x}=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}$
反双曲函数：
- $y = \mathrm{arsh}\ x$
- $y = \mathrm{arch}\ x$
- $y = \mathrm{arth}\ x$

1.2 数列的极限

数列

$\{x_n\}$ $\{x_{n_k}\}$ 表示在原数列中抽取无限多项，并保持这些项在原数列中的次序。

数列的极限

$a$ $a$ $a$ $\{x_n\}$ $\{x_n\}$ $a$ $\lim\limits_{n \to \infty} {x_n} = a$ $a$ $\{x_n\}$ 是发散的。
$\{x_n\}$ $a$ $\forall \varepsilon > 0$ $\exists N \in \mathbb{Z^*}$ $n > N$ 时，不等式
$∣ x_{n} - a ∣< ε$
$a$ $\{x_n\}$ $\{x_n\}$ $a$ ，记为：
$\begin{matrix} lim_{n \to \infty} x_{n} = a \\ x_{n} \to a (n \to \infty) \end{matrix}$

数列极限的性质

$\{x_n\}$ 不能收敛于两个不同的极限。
$\{x_n\}$ $\{x_n\}$ 一定有界。
$\lim\limits_{n \to \infty}{x_n}=a$ $a>0 \ (a<0)$ $N$ $n>N$ ${x_n}>0 \ ({x_n}<0)$
- $\{x_n\}$ $x_n \geqslant 0$ $x_n \leqslant 0$ $\lim\limits_{n\to \infty} = a$ $a \geqslant 0$ $a\leqslant 0$
$\{x_n\}$ $a$ $a$ 。

1.3 函数的极限

$f(x)$ $\mathring U(x_0,\delta)$ $\exists A$ $\forall \varepsilon > 0$ $\exists \delta > 0$ $x$ $0 < \mid x-x_0 \mid < \delta$ $f(x)$ 都满足不等式
$∣ f (x) - A ∣< ε$
$A$ $f(x)$ $x \to x_0$ 时的极限，记为
$\begin{matrix} lim_{x \to x_{0}} f (x) = A \\ o r \\ f (x) \to A (当 x \to x_{0}) \end{matrix}$
$f(x)$ $x_0$ $f(x)$ $x_0$ $f(x)$ 可以没有定义。
单侧极限:
$lim_{x \to x_{0}^{-}} f (x) = A \Leftrightarrow f (x_{0}^{-}) = A$ $lim_{x \to x_{0}^{+}} f (x) = A \Leftrightarrow f (x_{0}^{+}) = A$
$\lim\limits_{x \to x_0}{f(x)} = A \Leftrightarrow \lim\limits_{x \to x_0^-}{f(x)} =A \quad \&\& \quad \lim\limits_{x \to x_0^+}{f(x)} = A$
$f(x)$ $\mid x \mid$ $\exists A$ $\forall \varepsilon > 0$ $\exists M > 0$ $x$ $\mid x \mid > M$ 时，满足
$∣ f (x) - A ∣< ε$
$A$ $f(x)$ $x \to \infty$ 时的极限。

$\lim\limits_{x \to +\infty}{f(x)} = L \ or \ \lim\limits_{x \to -\infty}{f(x)} = L$ $y=L$ $y=f(x)$ 的图形的水平渐近线.

函数极限的性质

$\lim\limits_{x \to x_0}{f(x)}$ 存在，那么这个极限是惟一的。
$\lim\limits_{x \to x_0}{f(x)}=A$ $\exists \delta > 0,B>0$ $0 < \mid x - x_0 \mid < \delta$ $\mid f(x) \mid \leqslant B$ .
$\lim\limits_{x \to x_0}{f(x)} = A$ $A > 0 (or A < 0)$ $\exists \delta > 0$ $0 < \mid x -x_0 \mid < \delta$ $f(x)>0(or \ f(x) < 0)$ .
$\lim\limits_{x \to x_o}{f(x)}=A(A \neq 0)$ $x_0$ $\mathring U(x_0)$ $x \in \mathring U(x_0)$ $\mid f(x)\mid > \frac{1}{2}\mid A \mid$ .
$x_0$ $f(x) \geqslant 0(or \ f(x) \leqslant 0)$ $\lim\limits_{x \to x_0}{f(x)} = A$ $A \geqslant 0(or \ A \leqslant 0)$ .
$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)$ $|x_n|$ $f(x)$ $x_0$ $x_n \neq x_0\ (n \in \mathbb{N}_+)$ ${f(x_n)}$ $\lim\limits_{n\to \infty}f(x_n)=\lim\limits_{x\to x_0}f(x)$ .

1.4 无穷大与无穷小

无穷小

$f(x)$ $x \to x_0(or \ x \to \infty)$ $f(x)$ $x \to x_0(or \ x \to \infty)$ 时的无穷小。
${x_n}$ $n\to \infty$ 时的无穷小
$x \to x_0(or \ x \to \infty)$ $f(x)$ $A$ $f(x)=A+\alpha$ $\alpha$ $x \to x_0(or \ x \to \infty)$ 的无穷小。
定理 2:有限个无穷小的和仍然是无穷小。
定理 3:有界函数与无穷小的乘积是无穷小。

推论 1：常数与无穷小的乘积是无穷小
推论 2：有限个无穷小的乘积也是无穷小

无穷大

$f(x)$ $\mid x \mid$ $\forall B(however \ great \ B \ is)$ $\delta > 0(or \ \exists M > 0)$ $0 < \mid x - x_0 \mid < \delta(or \ \mid x \mid > M)$ 时有
$∣ f (x) ∣> B$
$f(x)$ $x \to x_0(or \ x \to \infty)$ 时的无穷大。
$f(x)$ $f(x)$ 的极限是不存在的。也称“函数的极限是无穷大”

无穷大与无穷小之间的关系

$f(x)$ $\frac{1}{f(x)}$ 为无穷小；反之…。
$f(x)$ $\lim\limits_{x \to x_0^-}{f(x)}=\infty \ or \ \lim\limits_{x \to x_0^+}{f(x)}=\infty$ $x=x_0$ $f(x)$ 的图形的一条铅直渐近线。

1.5 极限运算法则

$\lim{f(x)}=A,\lim{g(x)}=B$ ，那么：
- $\lim{[f(x) \pm g(x)]} = \lim{f(x)} \pm \lim{g(x)} = A \pm B$
  有限个无穷小的和是无穷小
- $\lim{[f(x) \cdot g(x)]} = \lim{f(x)} \cdot \lim{g(x)} = A \cdot B$ $\lim{\frac{f(x)}{g(x)}} = \frac{\lim{f(x)}}{\lim{g(x)}} = \frac{A}{B}(B \neq 0)$
  有界函数与无穷小的乘积是无穷小；
  常数与无穷小的乘积是无穷小；
  有限个无穷小的乘积是无穷小；
- $B \neq 0$ $\lim\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\lim f(x)}{\lim g(x)}=\frac{A}{B}$
  $\lim{f(x)}$ $c$ $\lim{[cf(x)]} = c\lim{f(x)}$ $\lim{f(x)}$ $n \in \mathbb{Z^*}$ $\lim{[f(x)]^n} = [\lim{f(x)}]^n$
$\{x_n\}$ $\{y_n\}$ ，如果：
$lim_{n \to \infty} x_{n} = A, lim_{n \to \infty} y_{n} = B,$
那么:
- $\lim\limits_{n \to \infty}{(x_n + y_n)} = A \pm B;$
- $\lim\limits_{n \to \infty}{(x_n \cdot y_n)} = A \cdot B$
- $y_n \neq 0(n=1,2,\cdots)$ $B \neq 0$ $\lim\limits_{n \to \infty}{\frac{x_n}{y_n}}=\frac{A}{B}.$
$\varphi(x) \geqslant \psi(x)$ $\lim \varphi(x)=A,\ \lim\psi(x)=B$ $A \geqslant B$ 。
$y=f[g(x)]$ $\lim\limits_{x \to x_0}{g(x)} = u_0, \lim\limits_{u \to u_0}{f(u)} = A$ $x_0$ $g(x) \neq u_0$ ，则
$lim_{x \to x_{0}} f [g (x)] = lim_{u \to u_{0}} f (u) = A$

1.6 极限存在准则两个重要极限

夹逼准则

${x_n},\ {y_n},\ {z_n}$ 满足以下条件：

$\forall n_0 \in \mathbb{N}_+$ $n>n_0$ $y_n \leqslant x_n \leqslant z_n$
$\lim\limits_{n\to \infty}y_n=a,\ \lim\limits_{n\to \infty}z_n=a$

${x_n}$ $\lim\limits_{n\to\infty}x_n=a$ 。

$f(x),g(x),h(x)$ 满足下列条件：

$x_0$ $x_0\in\mathring U(x_0,\ r)$ $|x|>M$ $g(x) \leqslant f(x) \leqslant h(x);$
$\lim\limits_{x \to x_0}{g(x)} = A,\lim\limits_{x \to x_0}{h(x)} = A.$

$\lim\limits_{x \to x_0}{f(x)}$ $\lim\limits_{x \to x_0}{f(x)} = A.$

定理 2:单调有界函数必有极限。

柯西极限存在准则

${x_n}$ $\epsilon$ $N$ $m>N,\ n>N$ 时有：

| x_{n} - x_{m} | < ϵ

重要极限

$\lim\limits_{x \to 0}{\frac{\sin x}{x}}=1$
$\lim\limits_{x \to \infty}{\left(1+\frac{1}{x}\right)^x} = e$ $\lim\limits_{z \to 0}{(1+z)^\frac{1}{z}} = \lim\limits_{x \to \infty}{(1+\frac{1}{x})^x} = e$
$\lim{f(x)} = A,\lim{g(x)} = B$ ，那么
$lim [f (x)]^{g (x)} = A^{B}$

1.7 无穷小的比较

$\alpha,\beta$ $\beta \neq 0,\lim{\frac{\alpha}{\beta}}$ 也是在同一过程中的极限。
- $\lim{\frac{\alpha}{\beta}} = 0$ $\alpha$ $\beta$ $\alpha = o(\beta)$ ；
- $\lim{\frac{\alpha}{\beta}} = \infty$ $\alpha$ $\beta$ 低阶的无穷小；
- $\lim{\frac{\alpha}{\beta}} = c \neq 0$ $\alpha$ $\beta$ 同阶无穷小；
- $\lim{\frac{\alpha}{\beta^k}} = c \neq 0,k > 0$ $\alpha$ $\beta$ $k$ 阶无穷小；
- $\lim{\frac{\alpha}{\beta}} = 1$ $\alpha$ $\beta$ $\alpha \sim \beta$
$c=1$
$\alpha$ $\beta$ $\alpha = \beta + o(\beta)$ .
$\alpha \sim \alpha'$ $\beta \sim \beta'$ ，则：
$lim \frac{α}{β} = lim \frac{α^{'}}{β^{'}} .$
求两个无穷小之比时，分子及分母都可用等价无穷小来代替，从而简化计算。
几个等价无穷小：

$x \to 0$ 时：
$\sin x \sim x,\ \tan x \sim x,\\ \arcsin x \sim x,\ 1-\cos x \sim \frac{1}{2}x^2,\ \arctan x \sim x,\\ \ln(1+x) \sim x,\ e^x -1 \sim x,\ \sqrt[n]{1+x}-1 \sim \frac{1}{n}x.$

1.8 函数的连续性与间断点

函数的连续性

$\lim\limits_{x \to x_0}{f(x)} = f(x_0)$ 。包含了三个含义：
- $y=f(x)$ $x_0$ 处有定义；
- $y=f(x)$ $x_0$ 处极限存在；
- $\lim\limits_{x \to x_0}{f(x)} = f(x_0)$ 极限值等于函数值。
多项式函数、有理函数在定义域内每一点都是连续的。
$y=f(x)$ $\mathring U(x_0)$ $\Delta x \to 0$ $\Delta y \to 0$ ，
$lim_{Δ x \to 0} y = 0 o r lim_{Δ x \to 0} [f (x_{0} + Δ x) - f (x_{0})] = 0$
$f(x)$ $x_0$ 处连续。
$y=\sin x$ $(-\infty,+\infty)$ 内：
$x_0$ 处有
$0 <∣ s i n x - s i n x_{0} ∣= 2 | c o s \frac{x + x_{0}}{2} | | s i n \frac{x - x_{0}}{2} | ⩽∣ x - x_{0} ∣$
$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=f(x_0^-)$ $f(x_0)$ $f(x_0^-)=f(x_0)$ $f(x)$ $x_0$ 左连续。
$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=f(x_0^+)$ $f(x_0)$ $f(x_0^+)=f(x_0)$ $f(x)$ $x_0$ 右连续。
$y=f(x)$ $x_0$ $y=f(x)$ $x_0$ 既左连续，又右连续。连续函数的图形是一条不间断的曲线。

函数的间断点

$f(x)$ $x_0$ 的某去心领域内有定义，在此前提下，如果有以下三种情形之一：

$x=x_0$ 没有定义
$x=x_0$ $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)$ 不存在
$x=x_0$ $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)$ $\lim\limits_{x\to x_0}f(x) \neq f(x_0)$

$f(x)$ $x_0$ $x_0$ 称为函数的不连续点或间断点。

常见间断点的类型：

第一类间断点：左极限、右极限都存在。
- $e.g:f(x)=\frac{\sin x}{x},x=0;\ \lim\limits_{x \to 0}{\frac{\sin x}{x}} = 1.$
- $e.g.:f(x) = \begin{cases} x + 1, & x < 1 \\ x, & x \geqslant 1 \end{cases}; \ \lim\limits_{x \to 1^-}{f(x)}=2, \ \lim\limits_{x \to 1}{f(x)=1.}$
第二类间断点：左极限、右极限不都存在（非第一类间断点）。
- $e.g.:f(x)=\frac{1}{x^2}; \ \lim\limits_{x \to 0}{f(x)}=\infty.$
- $e.g.:f(x)=\sin \frac{1}{x}; \ \lim\limits_{x \to 0}{f(x)} \in [-1,1].$

1.9 连续函数的运算与初等函数的连续性

连续函数的和、差、积、商的连续性

$f(x),g(x)$ $x_0$ $f(x) \pm g(x),f(x) \cdot g(x),\frac{f(x)}{g(x)}(g(x_0) \neq 0)$ $x_0$ 处连续。

反函数与复合函数的连续性

$y=f(x)$ 反函数 $x=f^{-1}(y)$ 也在相应的区间上单调增加（或单调减少）且连续。

$u=\varphi(x)$ $x_0$ $\varphi(x)=u_0$ $y=f(u)$ $u_0$ $y=f[\varphi(x)]$ $x_0$ 处也连续；

\begin{matrix} y = f [φ (x)], \overset{˚}{U} (x_{0}) \subset D_{f \circ φ}, lim_{x \to x_{0}} φ (x) = u_{0}, y = f (u) 在 u = u_{0} 连 续 \\ lim_{x \to x_{0}} f [φ (x)] = lim_{u \to u_{0}} f (u) = f (u_{0}) \end{matrix}

初等函数的连续性

基本初等函数在它们的定义区间内都是连续的。

$u(x)^{v(x)}\quad (u(x)>0,\ u(x) \not\equiv 1)$ 的函数，称为幂指函数，如果：
$lim u (x) = a > 0, lim v (x) = b$
那么：
$lim u (x)^{v (x)} = a^{b}$

1.10 闭区间上连续函数的性质

有界性与最大值和最小值定理

定理 1:（有界性与最大值和最小值定理）闭区间上的连续函数在该区间上有界且一定存在最大值和最小值。

$y=\tan x$ )

零点定理和介值定理

$x_0$ $f(x_0)=0$ $x_0$ $f(x)$ 的零点。（零点不是点）

$f(x)$ $[a,b]$ $f(a)$ $f(b)$ $(a,b)$ $\xi(a<\xi <b)$ $f(\xi)=0.$

$f(x)$ $[a,b]$ $f(a)=A,f(b)=B$ $A$ $B$ $W$ $(a,b)$ $\xi$ $f(\xi)=W.\ (a<\xi<b)$

$M$ $m$ 之间的任何值。

一致连续性

$f(x)$ $I$ $\varepsilon$ $\delta$ $I$ $x_1,\ x_2$ $|x_1 - x_2| < \delta$ ，时有：

| f (x_{1}) - f (x_{2}) | < ε

$f(x)$ $I$ 上一致连续。

$f(x)$ $[a,\ b]$ 上连续，那么它在该区间上一致连续。

1.10-1 求极限的方法总结

定义法

lim_{x \to x_{0}} f (x) = A \Leftrightarrow \forall ϵ > 0, \exists δ > 0, 当 0 <∣ x - x_{0} ∣< δ, 总 有 ∣ f (x) - A ∣< ϵ

lim_{x \to \infty} f (x) = A \Leftrightarrow \forall ϵ > 0, \exists X > 0 当 ∣ x ∣> X 时, 总 有 ∣ f (x) - A ∣< ϵ

夹逼定理

$x_0$ $\mid x\mid>M$ $g(x)\leqslant f(x)\leqslant h(x)$ $\lim g(x)=A,\lim h(x)=A$ $\lim f(x)$ $A$ 。
单调有界函数必有极限。

无穷小量的代换


$\sin x \sim x$	$\tan x \sim x$
$\arcsin x \sim x$	$1-\cos x \sim \frac{1}{2}x^2$
$(1+x)^\lambda -1 \sim \lambda x$	$\arctan x \sim x$
$\ln(1+x)\sim x$	$e^x -1 \sim x$

函数的连续

$U(x_0)$ $\lim\limits_{x\to x_0}{f(x)}=f(x_0)$

洛必达法则

$\frac{0}{0}$ $\frac{\infty}{\infty}$ 未定式使用合适的变换后分子分母求导

泰勒展开

常用函数的麦克劳林公式
$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}+o(x^n)$
$\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\cdots +(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}+o(x^{2n+1})$
$\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots +(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}+o(x^n)$
$\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+\cdots +(-1)^{n-1}\frac{x^n}{n}+o(x^n)$
$\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+\cdots +x^n+o(x^n)$
$(1+x)^\alpha=1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha -1)}{2!}x^2+\cdots +\frac{\alpha(\alpha - 1)\cdots (\alpha -n+1)}{n!}x^n+o(x^n)$

二. 导数与微分

2.1 导数的概念

导数的概念

$y=f(x)$ $x_0$ $x_0$ $\Delta x$ $\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$ $\Delta y$ $\Delta x$ $\Delta x \to 0$ $f(x)$ $x_0$ $f'(x_0)$ ，即：

F^{'} (x_{0}) = lim_{Δ x \to 0} \frac{Δ y}{Δ x} = lim_{Δ x \to 0} \frac{f (x_{0} + Δ x) - f (x_{0})}{Δ x}

也可以记作：

y^{'} |_{x = x_{0}}, \frac{d y}{d x} |_{x = x_{0}}, \frac{d f (x)}{d x} |_{x = x_{0}}

$y'$ $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ 记号来自莱布尼兹。

$y=f(x)$ $I$ $f(x)$ $I$ $f(x)$ $y',\ f'(x),\ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x},\ \frac{\mathrm{d}f(x)}{\mathrm{d}x}$ 。

$y=f(x)$ $M(x_0, f(x_0))$ $y-y_0=f'(x_0)(x-x_0)$

单侧导数

$y=f(x)$ $U(x_0)$ 有定义，左导数：
$f_{-}^{'} (x_{0}) = lim_{Δ x \to 0^{-}} \frac{f (x_{0} + Δ x) - f (x_{0})}{Δ x}$
右导数：
$f_{+}^{'} (x_{0}) = lim_{Δ x \to 0^{+}} \frac{f (x_{0} + Δ x) - f (x_{0})}{Δ x}$
$f(x)$ $(a,\ b)$ $f'_+(a),\ f'_-(b)$ $f(x)$ $[a,\ b]$ 上可导。

函数可导性与连续性的关系

$f(x)$ $x_0$ 处可导的充分必要条件是：左右导数存在且相等。

$f(x)$ $x_0$ $f(x)$ $x_0$ 处连续。

函数在某点连续是函数在该点可导的必要条件，但不是充分条件。

2.2 导数的运算法则及基本公式

导数的运算法则

$u=u(x)$ $v=v(x)$ $x$ 处可导，那么：

$[u(x) \pm v(x)]' = u'(x) \pm v'(x)$
$[u(x) v(x)]' = u'(x)v(x)+u(x)v'(x)$
$\left[\frac{u(x)}{v(x)} \right]' = \frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v^2(x)}(v(x) \neq 0)$
$(u+v-w)'=u'+v'-w'$
$(uvw)'=[(uv)w]'=(u'v+uv')w+uvw'=u'vw+uv'w+uvw'$

$x=f(y)$ $I_y$ $f'(y)\neq 0$ $y=f^{-1}(x)$ $I_x=\{x\mid x=f(y),y \in I_y\}$ 内也可导，且

[f^{- 1} (x)]^{'} = \frac{1}{f^{'} (y)}

反函数的导数等于直接函数导数的倒数。

$u=g(x)$ $x$ $y=f(u)$ $u=g(x)$ $y=f[g(x)]$ $x$ 可导，其导数为：

\frac{d y}{d x} = f^{'} (u) \cdot g^{'} (x)

运算公式

导数公式：

L1	L2
$C'=0;$	$(x^\mu)' = \mu x^{\mu -1};$
$(\sin x)'=\cos x;$	$(\cos x)'=-\sin x;$
$(\tan x)'=\sec ^2x$	$(\cot x)'=-\csc^2x$
$(\sec x)' = \sec x\tan x$	$(\csc x)'=-\csc x\cot x$
$(a^x)'=a^x\ln a$	$(e^x)'=e^x$
$(\log_a x)'=\frac{1}{x\ln a}$	$(\ln x)'=\frac{1}{x}$
$(\arcsin x)'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$	$(\arccos x)'=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
$(\arctan x)'=\frac{1}{1+x^2}$	$(\mathrm{arc}\cot x)'=-\frac{1}{1+x^2}$
$(u \pm v)' = u'\pm v'$	$(Cu)' = Cu'$
$(uv)' = u' v+uv'$	$\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u' v-uv'}{v^2}$

2.3 高阶导数

$y=f(x)$ $x$ $y=f(x)$ $x$ $y^{"},f^{"}(x)$ 即：

f^{''} (x) = [f^{'} (x)]^{'}, \frac{d^{2} y}{d x^{2}} = \frac{d}{d x} (\frac{d y}{d x})

$y=f(x)$ $n$ $f(x)$ $n$ 阶可导，二阶与二阶以上的导数统称为高阶导数。

常见高阶导数公式

$(e^{kx})^{(n)}=k^ne^{kx}$
$(x^\mu)^{(n)}=\mu(\mu-1)(\mu-2)\cdots(\mu-n+1)x^{\mu-n}$
$(\sin x)^{(n)}=\sin (x+n\cdot\frac{\pi}{2})$
$(\cos x)^{(n)}=\cos (x+n\cdot\frac{\pi}{2})$
$[\ln(x+1)]^{(n)}=(-1)^{n-1} \frac{(n-1)!}{(x+1)^n}$
$(uv)^{(n)}=\sum\limits_{k=0}^{n}C_n^ku^{(n-k)}v^{(k)}$ （莱布尼兹公式）

2.4 隐函数与参数方程导数

隐函数求导

$F(x,y)=0$ $y$ $x$ $x$ $\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}.$

$e.g.:y=\sqrt{\frac{(x-1)(x-2)}{(x-3)(x-4)}}.$ 两边取对数:

\ln y = \frac{1}{2} (\ln ∣ x - 1 ∣ + \ln ∣ x - 2 ∣ - \ln ∣ x - 3 ∣ - \ln ∣ x - 4 ∣)

$(\ln\mid x\mid)'=\frac{1}{x}$

参数方程求导

$\begin{equation}\left\{\begin{aligned} x&=\varphi(t)\\ y&=\psi(t) \end{aligned}\right.\end{equation}$

\frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d t} \cdot \frac{d t}{d x} = \frac{\frac{d y}{d t}}{\frac{d x}{d t}}

2.5 函数的微分

微分的定义

$y=f(x)$ $x_0$ $x_0+\Delta x$ $\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x)$ 可表示为：

Δ y = A Δ x + o (Δ x),

$y=f(x)$ $x_0$ 可微的 $A\Delta x$ $y=f(x)$ $x_0$ 微分 $\mathrm{d}y$ ，即：

d y = A Δ x

$f(x)$ 函数的微分 $\mathrm{d}y,\ \mathrm{d}f(x)$

$x$ $\Delta x$ $\mathrm{d}x$ $\mathrm{d}y=f'(x)\mathrm{d}x$

$f(x)$ $x_0$ $f(x)$ $x_0$ $\mathrm{d}y=f' (x_0)\Delta x.$

$\mathrm{d}y$ $\mathrm{d}x$ $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=f'(x).$ 因此，导数又称微商。

微分的基本公式和运算法则

基本公式
$\mathrm{d}(x^\mu)=\mu x^{\mu-1}\mathrm{d}x$	$\mathrm{d}(\sin x)=\cos x\mathrm{d}x$
$\mathrm{d}(\cos x)=-\sin x\mathrm{d}x$	$\mathrm{d}(\tan x)=\sec^2 x\mathrm{d}x$
$\mathrm{d}(\cot x)=-\csc^2 x\mathrm{d}x$	$\mathrm{d}(\sec x)=\sec x\tan x \mathrm{d}x$
$\mathrm{d}(\csc x)=-\csc x \cot x\mathrm{d}x$	$\mathrm{d}(a^x)=a^x\ln a\mathrm{d}x\ (a > 0, a \neq 1)$
$\mathrm{d}(e^x)=e^x\mathrm{d}x$	$\mathrm{d}(\log_a x)=\frac{1}{x\ln a}\mathrm{d}x\ (a>0,a\neq 1)$
$\mathrm{d}(\ln x)=\frac{1}{x}\mathrm{d}x$	$\mathrm{d}(\arcsin x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\mathrm{d}x$
$\mathrm{d}(\arccos x)=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\mathrm{d}x$	$\mathrm{d}(\arctan x)=\frac{1}{1+x^2}\mathrm{d}x$
$\mathrm{d}(\arccot x)=-\frac{1}{1+x^2}\mathrm{d}x$

运算法则
$\mathrm{d}(u\pm v)=\mathrm{d}u\pm \mathrm{d}v$	$\mathrm{d}(Cu)=C\mathrm{d}u$
$\mathrm{d}(uv)=v\mathrm{d}u+u\mathrm{d}v$	$\mathrm{d}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{v\mathrm{d}u-u\mathrm{d}v}{v^2}$

复合函数的微分

$u$ $\mathrm{d}y=f'(u)\mathrm{d}u$ 微分形式不变性 $y=\sin(2x+1),\mathrm{d}y=?$

\begin{matrix} let u = 2 x + 1; \\ d y = d (\sin u) = \cos u d u = \cos (2 x + 1) d (2 x + 1) \\ = \cos (2 x + 1) \cdot 2 d x = 2 \cos (2 x + 1) d x \end{matrix}

近似计算

$y=f(x)$ $x_0$ $f'(x_0)\neq 0$ $|\Delta x|$ 很小时，有：

Δ y \approx d y = f^{'} (x_{0}) Δ x

误差估计

$A$ $a$ $|A-a|$ $a$ 绝对误差 $\frac{|A-a|}{|a|}$ $a$ 相对误差 $\delta_A$ ：

∣ x - x_{0} ∣⩽ δ_{A}

$\delta_A$ $A$ 绝对误差限 $\frac{\delta_A}{\mid a\mid}$ $x$ 的相对误差限。

三. 中值定理与导数的应用

3.1 微分中值定理

罗尔定理

$f(x)$ $x_0$ $U(x_0)$ $x_0$ $x\in U(x_0)$ $f(x)\leqslant f(x_0) \ or \ f(x)\geqslant f(x_0)$ $f'(x_0)=0.$

$f(x)$ 满足：

$[a, b]$ 上连续；
$(a, b)$ 内可导；
$f(a)=f(b)$

$(a, b)$ $\xi(a<\xi <b)$ $f(x)$ $f'(\xi)=0.$

拉格朗日中值定理

$f(x)$ 满足：

$[a, b]$ 上连续；
$(a, b)$ 内可导；

$(a, b)$ $\xi(a<\xi<b)$ ，使得：

f (b) - f (a) = f^{'} (ξ) (b - a)

即拉格朗日中值公式（有限增量定理）（微分中值定理）

$\Delta y=f'(x+\theta\Delta x)\cdot \Delta x \ (0<\theta<1)$ 。

定理 $f(x)$ $I$ $f(x)$ $I$ 上是一个常数。

拉格朗日中值定理的证明

// Todo

柯西中值定理

$f(x)$ $F(x)$ 满足：

$[a, b]$ 上连续；
$(a, b)$ 内可导；
$(a, b)$ $F'(x)\neq 0.$

$(a, b)$ $\xi(a<\xi<b)$ ，使得

\frac{f (b) - f (a)}{F (b) - F (a)} = \frac{f^{'} (ξ)}{F^{'} (ξ)}

柯西中值定理的证明

// Todo

3.2 洛必达法则

洛必达法则定义定理

定义 $x\to a(x \to \infty)$ $f(x) | F(x)$ $\lim\limits_{x\to a(\infty)}{\frac{f(x)}{F(x)}}$ 可能存在或不存在。通常把这种极限叫做未定式。

$\frac{0}{0},\ \frac{\infty}{\infty}$

定理 $f(x) | F(x)$ 满足如下条件：

$x \to a$ $f(x)$ $F(x)$ 都趋于零；
$a$ $f(x)|F(x)$ $F'(x)\neq 0$ ；
$\lim\limits_{x \to a}{\frac{f'(x)}{F'(x)}}$ 存在（或为无穷大）。

那么

lim_{x \to a} \frac{f (x)}{F (x)} = lim_{x \to a} \frac{f^{'} (x)}{F^{'} (x)} .

注意：在运用洛必达法则求极限时，最好与其他方法结合使用（等价无穷小替换）

$f(x) | F(x)$ 满足如下条件：

$x \to \infty$ $f(x)$ $F(x)$ 都趋于零；

$\mid x \mid>N$ $f'(x)$ $F'(x)$ $F'(x)\neq 0$ ；

$\lim\limits_{x \to a}{\frac{f'(x)}{F'(x)}}$ 存在（或为无穷大）。

那么

lim_{x \to \infty} \frac{f (x)}{F (x)} = lim_{x \to \infty} \frac{f^{'} (x)}{F^{'} (x)} .

洛必达法则的证明

// Todo

其他形式的未定式

$0\cdot\infty$ ：
$e . g . : lim_{x \to 0^{+}} \sqrt{x} \ln x = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln x}{\frac{1}{\sqrt{x}}} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \frac{1}{2} x^{- \frac{3}{2}}} = lim_{x \to 0^{+}} (- 2 \sqrt{x}) = 0$
$\infty-\infty$ ：
$e . g . lim_{x \to 0} (\frac{1}{\sin x} - \frac{1}{x}) = lim_{x \to 0} \frac{x - \sin x}{x \sin x} = lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{2 \cos x - x \sin x} = 0$
$0^0$ ：
$e . g . lim_{x \to 0^{+}} x^{x} = lim_{x \to 0^{+}} e^{x \ln x} = e^{lim_{x \to 0^{+}} x \ln x} = e^{0} = 1$

$\lim{\frac{f'(x)}{F'(x)}}$ $\lim{\frac{f(x)}{F(x)}}$ 仍可能存在。

3.3 泰勒公式

问题的提出

用高次多项式来近似表示函数
$a_0, a_1, a_2, a_3, a_4 \dots a_n$ $n$ 阶导数。
$e^x\approx 1+x$ $\ln(1+x)\approx x$

泰勒中值定理

$f(x)$ $x_0$ $n$ $x_0$ $x$ ，有：

\begin{matrix} (1) & P (x) = f (x_{0}) + f^{'} (x_{0}) \frac{(x - x_{0})^{1}}{1!} + f^{''} (x_{0}) \frac{(x - x_{0})^{2}}{2!} + \dots + f^{(n)} (x_{0}) \frac{(x - x_{0})^{n}}{n!} + R_{n} (x) \end{matrix}

其中，

R_{n} (x) = o ((x - x_{0})^{n})

$f(x)$ $x_0$ $(a, b)$ $n+1$ $x \in (a, b)$ ，有：

\begin{matrix} (2) & P (x) = f (x_{0}) + f^{'} (x_{0}) \frac{(x - x_{0})^{1}}{1!} + f^{''} (x_{0}) \frac{(x - x_{0})^{2}}{2!} + \dots + f^{(n)} (x_{0}) \frac{(x - x_{0})^{n}}{n!} + R_{n} (x) \end{matrix}

其中,

R_{n} (x) = f^{(n + 1)} (ξ) \frac{(x - x_{0})^{n + 1}}{(n + 1)!}, ξ \in (x, x_{0})

余项的表示

拉格朗日型余项 $R_n(x)=f^{(n+1)}(\xi)\frac{(x-x_0)^{n+1}}{(n+1)!} \ , \ \xi \in (x, x_0)$
$n=0$ 时，泰勒公式(2)变成拉格朗日中值公式
佩亚诺型余项 $R_n(x)=o\left((x-x_0)^n\right)$

麦克劳林公式

f (x) = f (x_{0}) + f^{'} (0) \frac{x^{1}}{1!} + f^{''} (0) \frac{x^{2}}{2!} + \dots + f^{(n)} (0) \frac{x^{n}}{n!} + f^{(n + 1)} (θ x) \frac{x^{n + 1}}{(n + 1)!}

$x_0=0$ ，泰勒公式(1)有带有佩亚诺余项的麦克劳林公式

f (x) = f (0) + f^{'} (0) x + \dots + \frac{f^{(n)} (0)}{n!} + o (x^{n})

泰勒公式(2)变成带有拉格朗日余项的麦克劳林公式

f (x) = f (0) + f^{'} (0) x + \dots + \frac{f^{(n)} (0)}{n!} + \frac{f^{(n + 1)} (θ x)}{(n + 1)!} x^{n + 1} (0 < θ < 1)

$n$ 阶麦克劳林公式

e^{x} = 1 + x + \frac{x^{2}}{2!} + \dots + \frac{x^{n}}{n!} + \frac{e^{θ x}}{(n + 1)!} x^{(n + 1)} (0 < θ < 1)

\begin{matrix} \sin x = x - \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{5}}{5!} - \dots + (- 1)^{m - 1} \frac{x^{2 m - 1}}{(2 m - 1)!} + R_{2 m} (x) n = 2 m \\ R_{2 m} (x) = (- 1)^{m} \frac{\cos θ x}{(2 m + 1)!} x^{2 m + 1} (0 < θ < 1) \end{matrix}

\begin{matrix} \cos x = 1 - \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{4}}{4!} - \dots + (- 1)^{m} \frac{x^{2 m}}{(2 m)!} + R_{2 m + 1} (x) n = 2 m \\ R_{2 m + 1} (x) = (- 1)^{m + 1} \frac{\cos θ x}{(2 m + 2)!} x^{2 m + 2} (0 < θ < 1) \end{matrix}

\begin{matrix} \ln (1 + x) = x - \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{3}}{3!} - \dots + (- 1)^{n - 1} \frac{x^{n}}{n} + R_{n} (x) n = 2 m \\ R_{n} (x) = \frac{(- 1)^{n}}{(n + 1) (1 + θ x)^{n + 1}} x^{n + 1} (0 < θ < 1) \end{matrix}

\begin{matrix} (1 + x)^{α} = 1 + α x + \frac{α (α - 1)}{2!} x^{2} + \dots + \frac{α (α - 1) \dots (α - n + 1)}{n!} x^{n} + R_{n} (x) \\ R_{n} (x) = \frac{α (α - 1) \dots (α - n + 1) (α - n)}{(n + 1)!} (1 + θ x)^{α - n + 1} x^{n + 1} (0 < θ < 1) \end{matrix}

3.4 函数的单调性与曲线的凹凸性

函数的单调性

定理 $y=f(x)$ $[a,\ b]$ $(a,\ b)$ 内可导：

$(a,\ b)$ $f'(x)\geqslant0$ $y=f(x)$ $[a,\ b]$ 上单调增加
$(a,\ b)$ $f'(x)\leqslant0$ $y=f(x)$ $[a,\ b]$ 上单调减少

曲线的凹凸性与拐点

定义 $f(x)$ $I$ $I$ $x_1, x_2$ 恒有：

$f\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)<\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2},$ 则图形是凹的（凹弧）
$f\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)>\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2},$ 则图形是凸的（凸弧）

定理 $f(x)$ $[a,\ b]$ $(a,\ b)$ $(a,\ b)$ 内：

$f^"(x)>0$ $[a, b]$ 上是凹的
$f^"(x)<0$ $[a, b]$ 上是凸的

$y=f(x)$ $\left((x_0,\ f(x_0)\right)$ $f^{"}(x)$ 符号发生变化的分界点。

$f^{"}(x)=0$ $f^{"}(x)$ 不存在的点。

3.5 函数的极值与最值

函数的极值及其求法

定义 $f(x)$ $(a,\ b)$ $x_0 \in (a, b)$ $\mathring U(x_0,\ \delta)$ $x \in \mathring U(x_0,\ \delta)$ $f(x)<f(x_0) \quad or \quad f(x0 > f(x_0)$ $f(x_0)$ $f(x)$ 的一个极大值或极小值。

极大值和极小值称为极值，使函数取得极值的点称为极值点。

必要条件 $f(x)$ $x_0$ $x_0$ $f'(x_0)=0$

$f(x)$ $x_0$ $x_0$ $\mathring U(x_0,\ \delta)$ 内可导：

$x\in(x_0-\delta,\ x_0)$ $f'(x)>0$ $x\in(x_0,\ x_0+\delta)$ $f'(x)<0$ $f(x)$ $x_0$ 处取得极大值
$x\in(x_0-\delta,\ x_0)$ $f'(x)<0$ $x\in(x_0,\ x_0+\delta)$ $f'(x)>0$ $f(x)$ $x_0$ 处取得极小值
$x\in\mathring U(x_0,\ \delta)$ $f'(x)$ $f(x)$ $x_0$ 处没有极值

$f(x)$ $x_0$ $f'(x_0)=0,\ f''(x_0)\neq 0$ ，则：

$f''(x_0)<0$ $f(x)$ $x_0$ 处取得极大值
$f''(x_0)>0$ $f(x)$ $x_0$ 处取得极小值

求区间内的极值点和对应的极值

$f'(x)$
$f(x)$ 的全部驻点与不可导点
$f'(x)$ 的符号在每个驻点或不可导点的左、右邻近的情形，以确定是否为极值点；如果为极值点，进一步确定是极大值点还是极小值点
$f(x)$ 的全部极值

最大值最小值问题

$f(x)$ $(a,\ b)$ 内的驻点及不可导点
$f(x)$ $f(a),\ f(b)$
(2) $f(x)$ $[a,\ b]$ 上的最大值，最小值

3.6 函数图形的描绘

列表

$x$	区间 1	间断点	区间 2	间断点	区间 3
$f'(x)$	$\pm$	$0$ 或无	$\pm$	$0$ 或无	$\pm$
$f''(x)$	$\pm$	$0$ 或无	$\pm$	$0$ 或无	$\pm$
$y=f(x)$ 图形	$\nearrow\searrow$	拐点	$\nearrow\searrow$	间断点	$\nearrow\searrow$

3.7 曲率

弧微分

$x,\ x+\Delta x$ $(a,\ b)$ $y=f(x)$ $M,\ M'$ $x$ $\Delta x$ $s$ $\Delta s$ $\Delta s=\overset{\LARGE{\frown}}{M_0M'}-\overset{\LARGE{\frown}}{M_0M}=\overset{\LARGE{\frown}}{MM'}$

弧微分公式：

d s = \sqrt{1 + y^{' 2}} d x

曲率及其计算公式

$C$ $M$ $s$ $M$ $\alpha$ $M'$ $s+\Delta s$ $M$ $\alpha+\Delta\alpha$ $\overset{\LARGE{\frown}}{MM'}$ $|\Delta s|$ $M$ $M'$ $|\Delta\alpha|$

平均曲率 $\overset{-}{K}$ $\overset{-}{K}=\left|\frac{\Delta\alpha}{\Delta s}\right|$
曲率 $K=\lim\limits_{\Delta s\to 0}\left|\frac{\Delta\alpha}{\Delta s}\right|=\left|\frac{\mathrm{d}\alpha}{\mathrm{d}s}\right|$
曲率的计算式（由参数方程）
${\begin{aligned} x & = φ (t) \\ y & = ψ (t) \end{aligned}$ $K = \frac{| y^{″} |}{(1 + y^{' 2})^{3 / 2}} = \frac{| φ^{'} (t) ψ^{″} (t) - φ^{″} (t) ψ^{'} (t) |}{[φ^{' 2} (t) + ψ^{' 2} (t)]^{3 / 2}}$

曲率圆与曲率半径

$K$ $M$ $D$ $|DM|=\frac{1}{K}=\rho$ $M$ 曲率圆 $D$ 曲率中心 $\rho$ 为曲率半径，有如下关系：

ρ = \frac{1}{K}, K = \frac{1}{ρ}

3.8 方程的近似解

二分法

$f(x)$ $[a,\ b]$ $f(a)\cdot f(b)<0$ $f(x)=0$ $(a,\ b)$ $\xi$ $[a,\ b]$ 即是这个根的一个隔离区间。

$[a,\ b]$ $\xi_1=\frac{a+b}{2}$ $f(\xi_1)$ ：

$f(\xi_1)=0$ $\xi=\xi_1$ ；
$f(\xi_1)$ $f(a)$ $[\xi_1,\ b]$ ；
$f(\xi_1)$ $f(b)$ $[a,\ \xi_1]$

$a_n<\xi<b_n$ $a_n,\ b_n$ $\frac{1}{2^n}(b-a)$

切线法

$f(x)$ $[a,\ b]$ $f(a)\cdot f(b)<0$ $f'(x)$ $f''(x)$ $[a,\ b]$ $(a,\ b)$ $\xi$ $[a,\ b]$ 即是这个根的一个隔离区间。

$x_0=b$ $y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0)$ $y=0$ $x$ $x_1=x_0-\frac{f(x_0)}{f'(x_0)}$ 。

$x_1$ $x_0$ $\xi$ $x$ 轴交点，可得近似值：

x_{n + 1} = x_{n} - \frac{f (x_{n})}{f^{'} (x_{n})}

割线法

通过割线代替切线，避免计算导数。此时迭代公式为：

x_{n + 1} = x_{n} - \frac{x_{n} - x_{n - 1}}{f (x_{n}) - f (x_{n - 1})} \cdot f (x_{n})

四. 不定积分

4.1 不定积分的概念与性质

不定积分的概念

定义 $F'(x)=f(x),x \in I$ $\mathrm{d}F(x)=f(x)\mathrm{d}x$ $F(x)$ $f(x)$ $I$ 上的原函数。

定理 $F'(x)=f(x)$ $f(x)$ $F(x)+C$

定义 $I$ $f(x)$ $f(x)$ $\int f(x)\mathrm{d}x$

积分表

$\begin{matrix} (1) & \int k d x = k x + C k 是常数 \end{matrix}$
$\begin{matrix} (2) & \int x^{μ} d x = \frac{x^{μ + 1}}{μ + 1} + C (μ \neq - 1) \end{matrix}$
$\begin{matrix} (3) & \int \frac{d x}{x} = \ln | x | + C \end{matrix}$
$\begin{matrix} (4) & \int \frac{d x}{1 + x^{2}} = \arctan x + C \end{matrix}$
$\begin{matrix} (5) & \int \frac{d x}{\sqrt{1 - x^{2}}} = \arcsin x + C \end{matrix}$
$\begin{matrix} (6) & \int \cos x d x = \sin x + C \end{matrix}$
$\begin{matrix} (7) & \int \sin x d x = - \cos x + C \end{matrix}$
$\begin{matrix} (8) & \int \frac{d x}{\cos^{2} x} = \int \sec^{2} x d x = \tan x + C \end{matrix}$
$\begin{matrix} (9) & \int \frac{d x}{\sin^{2} x} = \int \csc^{2} x d x = - \cot x + C \end{matrix}$
$\begin{matrix} (10) & \int \sec x \tan x d x = \sec x + C \end{matrix}$
$\begin{matrix} (11) & \int \csc x \cot x d x = - \csc x + C \end{matrix}$
$\begin{matrix} (12) & \int e^{x} d x = e^{x} + C \end{matrix}$
$\begin{matrix} (13) & \int a^{x} d x = \frac{a^{x}}{\ln a} + C \end{matrix}$

不定积分的性质

线性性质 $f(x),\ g(x)$ $k$ 为非零参数

\int [f (x) + g (x)] d x = \int f (x) d x + \int g (x) d x

\int \sum_{i = 1}^{n} [k_{i} f_{i} (x)] d x = \sum_{i = 1}^{n} k_{i} \int f_{i} (x) d x

积分形式的不变性 $u=u(x)$ $x$ 的任一可微函数，

\int f (x) d x = F (x) + c \Leftrightarrow \int f (u) d u = F (u) + c

求导与积分运算的关系：

先积分后微分，两者互相抵消
$d \int f (x) d x = f (x) d x o r [\int f (x) d x]^{'} = f (x)$
先微分后积分，相互抵消后相差一个常数
$\int d F (x) = F (x) + c o r \int F^{'} (x) d x = F (X) + c$

$f(x)$ $I$ $f(x)$ $I$ $f(x)$ $I$ 上可积。

4.2 换元积分法

第一类换元法（凑微分法）

定理 $f(u)$ $u=\varphi(x)$ 可导，则有换元公式：

\int f [φ (x)] φ^{'} (x) d x = {[\int f (u) d u]}_{u = φ (x)}

$\int g(x)\mathrm{d}x$ $g(x)=f[\varphi(x)]\varphi'(x)\mathrm{d}x$ 的形式，那么

\int g (x) d x = {[\int f (u) d u]}_{u = φ (x)}

$f(u)$ 的积分。

常见形式：

$\frac{1}{x}\mathrm{d}x=\mathrm{d}\ln x$
$e^x\mathrm{d}x = \mathrm{d}e^x$
$\cos x\mathrm{d}x = \mathrm{d}\sin x$
$x^n\mathrm{d}x = \frac{1}{n+1}\mathrm{d}x^{n+1}$

第二类换元法

定理 $x=\psi(t)$ $\psi'(t)\neq 0$ $f[\psi(t)]\psi'(t)$ 具有原函数，则有换元公式：

\int f (x) d x = {[\int f [ψ (t)] ψ^{'} (t) d t]}_{t = ψ^{- 1} (x)}

$\psi^{-1}(x)$ $x=\psi(t)$ 的反函数

方法：

根式代换
$\displaystyle{\int} R(x, \sqrt[n]{ax+b})\mathrm{d}x$ $\sqrt[n]{ax+b}=t$ .
$\displaystyle{\int}R\left(x, \sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}}\right)\mathrm{d}x$ $\sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}}=t$ .
三角代换
$\sqrt{a^2-x^2} \quad \sqrt{a^2+x^2} \quad\sqrt{x^2-a^2}$ 等二次因子，可作三角代换
$\sqrt{a^2-x^2} \Rightarrow x=a\sin t \Rightarrow a\cos t$
$\sqrt{a^2+x^2} \Rightarrow x=a\tan t \Rightarrow a\sec t$
$\sqrt{x^2-a^2} \Rightarrow x=a\sec t \Rightarrow a\tan t$
倒代换
$x^k\quad (k \in \mathbb{N})$
$\displaystyle{\int}\frac{p_n(x)}{x^k\sqrt{ax^2-bx+c}}\mathrm{d}x\quad a\neq 0,k \in \mathrm{N},p_n(x)$ $n$ $n<k$ $x=\frac{1}{t}$ $x^k$ .

4.3 分部积分法

方法

$u=u(x),v=v(x)$ 可导，则：

\begin{matrix} \int u v^{'} d x = u v - \int u^{'} v d x \\ \int u d v = u v - \int v d u \end{matrix}

$\int v\mathrm{d}u$ $\int u\mathrm{d}v$ 的积分容易求出。

常见类型

降次型
转换型
循环型
递推型
抵消型

4.4 有理函数的积分

有理函数

$\frac{P(x)}{Q(x)}$ $P(x)$ $Q(x)$ 时，称为真分式，否则为假分式

有理函数积分一般步骤

将有理假分式用多项式除法或凑项法化为整式与真分式之和。
用比较系数法或赋值法确定真分式中的待定系数。
求出整式及各部分分式的积分。

三角有理式的积分

$\displaystyle{\int}\frac{a\sin x+b\cos x}{a_1\sin x+b_1\cos x}\mathrm{d}x$ 可设
$a \sin x + b \sin x = A (a_{1} \sin x + b_{1} \cos x) + B (a_{1} \sin x + b_{1} \cos x)^{'}$
$A, B$ 然后裂项积分。
$\sqrt[n]{ax+b}$ $\sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}}$ $u$

4.5 积分表的应用

补充积分表

\begin{matrix} (1) & \begin{aligned} \int \sin x d x = - \cos x + C; \int \cos x d x = \sin x + C; \\ \int \tan x d x = - \ln | \cos x | + C; \int \cot x d x = \ln | \sin x | + C; \\ \int \frac{d x}{\cos x} = \int \sec x d x = \ln | \sec x + \tan x | + C; \\ \int \frac{d x}{\sin x} = \int \csc x d x = \ln | \csc x - \cot x | + C; \\ \int \sec^{2} x d x = \tan x + C; \int \csc^{2} x d x = - \cot x + C; \\ \int \sec x \tan x d x = \sec x + C; \int \csc x \cot x d x = - \csc x + C . \end{aligned} \end{matrix}

\begin{matrix} (2) & {\begin{cases} \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x = \arctan x + C, \\ \int \frac{1}{a^{2} + x^{2}} d x = \frac{1}{a} \arctan \frac{x}{a} + C & (a > 0) . \end{cases} \end{matrix}

\begin{matrix} (3) & {\begin{cases} \int \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x = \arcsin x + C, \\ \int \frac{1}{\sqrt{a^{2} - x^{2}}} d x = \arcsin \frac{x}{a} + C & (a > 0) . \end{cases} \end{matrix}

\begin{matrix} (4) & {\begin{cases} \int \frac{1}{\sqrt{x^{2} + a^{2}}} d x = \ln (x + \sqrt{x^{2} + a^{2}}) + C & (常见 a = 1), \\ \int \frac{1}{\sqrt{x^{2} - a^{2}}} d x = \ln | x + \sqrt{x^{2} - a^{2}} | + C & (| x | > | a |) . \end{cases} \end{matrix}

\begin{matrix} (5) & \int \frac{1}{x^{2} - a^{2}} d x = \frac{1}{2 a} \ln | \frac{x - a}{x + a} | + C (\int \frac{1}{a^{2} - x^{2}} d x = \frac{1}{2 a} \ln | \frac{x + a}{x - a} | + C) . \end{matrix}

\begin{matrix} (6) & \int \sqrt{a^{2} - x^{2}} d x = \frac{a^{2}}{2} \arcsin \frac{x}{a} + \frac{x}{2} \sqrt{a^{2} - x^{2}} + C (a > | x | ⩾ 0) . \end{matrix}

\begin{matrix} (7) & \begin{aligned} \int \sin^{2} x d x = \frac{x}{2} - \frac{\sin 2 x}{4} + C (\sin^{2} x = \frac{1 - \cos 2 x}{2}) \\ \int \cos^{2} x d x = \frac{x}{2} + \frac{\sin 2 x}{4} + C (\cos^{2} x = \frac{1 + \cos 2 x}{2}) \\ \int \tan^{2} x d x = \tan x - x + C (\tan^{2} x = \sec^{2} x - 1) \\ \int \cot^{2} x d x = - \cot x - x + C (\cot^{2} x = \csc^{2} x - 1) \end{aligned} \end{matrix}

五. 定积分

5.1 定积分的概念与性质

定积分问题举例

曲边梯形的面积
$A=\lim\limits_{\lambda \to 0}{\sum\limits_{i=1}^n}f(\xi_i)\Delta x_i$
变速曲线运动的路程
$s=\lim\limits_{\lambda \to 0}{\sum\limits_{i=i}^n}v(\tau_i)\Delta t_i$

定积分的定义

$f(x)$ $[a,\ b]$ $[a,\ b]$ $n$ $\xi_i$ $f(\xi_i)$ $\Delta x_i$ $S=\sum\limits_{i=1}^nf(\xi_i)\Delta x_i$ $f(x)$ $[a, b]$ $\displaystyle\int_a^bf(x)\mathrm{d}x$ ，即：

\int_{a}^{b} f (x) d x = I = lim_{λ \to 0} \sum_{i = 1}^{n} f (ξ_{i}) Δ x_{i}

$f(x)$ 被积函数 $f(x)\mathrm{d}x$ 被积表达式 $x$ 积分变量 $a$ 积分下限 $b$ 积分上限 $[a, b]$ 叫做积分区间。

$\sum\limits_{i=1}^n f(\xi_i)\Delta x_i$ 积分和 $f(x)$ $[a,\ b]$ $f(x)$ $[a,\ b]$ 上可积。

定积分的值只与被积函数及积分区间有关，而与积分变量的记法无关。

定理：

$f(x)$ $[a, b]$ $f(x)$ $[a, b]$ 上可积。
$f(x)$ $[a ,b]$ $f(x)$ $[a, b]$ 上可积。

定积分的近似计算

矩形法

$[a,\ b]$ $\Delta x=\frac{b-a}n$ $[x_{i-1},\ x_i]$ $\xi_i = x_{i-1}$ ，应有：

\int_{a}^{b} f (x) d x = lim_{n \to \infty} \frac{b - a}{n} \sum_{i = 1}^{n} f (x_{i - 1})

$\xi_i=x_i$ 得近似公式：

\int_{a}^{b} f (x) d x \approx \frac{b - a}{n} (y_{1} + y_{2} + \dots + y_{n})

梯形法

定积分的近似值：

\begin{aligned} \int_{a}^{b} f (x) d x & \approx \frac{b - a}{n} (\frac{y_{0} + y_{1}}{2} + \frac{y_{1} + y_{2}}{2} + \dots + \frac{y_{n - 1} + y_{n}}{2}) \\ = \frac{b - a}{n} (\frac{y_{0} + y_{n}}{2} + y_{1} + y_{2} + \dots + y_{n - 1}) \end{aligned}

抛物线法（辛普森法）

\begin{aligned} \int_{a}^{b} f (x) d x & \approx \frac{b - a}{3 n} [(y_{0} + 4 y_{1} + y_{2}) + (y_{2} + 4 y_{3} + y_{4}) + \dots + (y_{n - 2} + 4 y_{n - 1} + y_{n})] \\ = \frac{b - 1}{3 n} [y_{0} + y_{n} + 4 (y_{1} + y_{3} + \dots + y_{n - 1}) + 2 (y_{2} + y_{4} + \dots + y_{n - 2})] \end{aligned}

定积分的性质

补充两点规定：

$b=a$ $\displaystyle\int_a^b f(x)\mathrm{d}x=0$
$a>b$ $\displaystyle\int_a^b f(x)\mathrm{d}x=-\int_b^a f(x)\mathrm{d}x$

性质有：

$\alpha$ $\beta$ 为常数,则
$\int_{a}^{b} [α f (x) + β g (x)] d x = α \int_{a}^{b} f (x) d x + β \int_{a}^{b} g (x) d x$
对于任意有限个函数线性组合也是成立的。
$a<c<b$ ，则：
$\int_{a}^{b} f (x) d x = \int_{a}^{c} f (x) d x + \int_{c}^{b} f (x) d x$
定积分对于积分区间具有可加性
$[a, b]$ $f(x)\equiv 1$ ，那么
$\int_{a}^{b} 1 d x = \int_{a}^{b} d x = b - a$
$[a, b]$ $f(x)\geqslant 0$ ，那么
$\int_{a}^{b} f (x) d x ⩾ 0 (a < b)$
$[a, b]$ $f(x)\leqslant g(x)$ ，那么
$\int_{a}^{b} f (x) d x ⩽ \int_{a}^{b} g (x) d x (a < b)$
$\left|\displaystyle\int_a^b f(x)\mathrm{d}x\right| \leqslant \displaystyle\int_a^b \mid f(x)\mid\mathrm{d}x \quad (a<b)$
$M$ $m$ $f(x)$ $[a, b]$ 上的最大值及最小值，则
$m (b - a) ⩽ \int_{a}^{b} f (x) d x ⩽ M (b - a)$
$f(x)$ $[a, b]$ $[a, b]$ $\xi$ ，使得：
$\int_{a}^{b} f (x) d x = f (ξ) (b - a) (a ⩽ ξ ⩽ b)$
$[a,\ b]$ $\xi$ $[a,\ b]$ $y=f(x)$ $f(\xi)$ 的一个矩形的面积。按积分中值公式：
$f (ξ) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$
$f(x)$ $[a,\ b]$ 上的平均值。

5.2 微积分基本公式

积分上限函数及其导数

$f(X)$ $[a, b]$ 上连续，那么积分上限的函数

Φ (x) = \int_{a}^{x} f (t) d t

$[a, b]$ 上可导，并且它的导数

Φ^{'} (x) = \frac{d}{d x} \int_{a}^{x} f (t) d t = f (x) (a ⩽ x ⩽ b)

$f(x)$ $[a, b]$ 上连续，那么函数

Φ (x) = \int_{a}^{x} f (t) d t

$f(X)$ $[a, b]$ 上的一个原函数。

牛顿-莱布尼茨公式

$F(X)$ $f(X)$ $[a, b]$ 上的一个原函数，那么

\int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a)

或者写成：

\int_{a}^{b} f (x) d x = [F (x)]_{a}^{b}

5.3 定积分的换元法和分部积分法

定积分的换元法

$f(x)$ $[a, b]$ $x=\varphi(t)$ 满足条件：

$\varphi(\alpha)=a, \, \varphi(\beta)=b\;;$
$\varphi(t)$ $[a, b]$ $[\beta, \alpha]$ $R_\varphi=[a, b]$ $f(x)在R_\varphi$ 上连续），

则有：（定积分的换元公式）

\int_{a}^{b} f (x) d x = \int_{α}^{β} f [φ (t)] φ^{'} (t) d t

注意：换元后的积分限随新元变化。

定积分的分部积分法

定积分的分部积分公式：

\begin{aligned} \int_{a}^{b} u (x) v^{'} (x) d x & = {[u (x) v (x) - \int v (x) u^{'} (x) d x]}_{a}^{b} \\ = [u (x) v (x)]_{a}^{b} - \int_{b}^{b} v (x) u^{'} (x) d x \end{aligned}

简记作：

\begin{matrix} \int_{a}^{b} u d v = [u v]_{a}^{b} - \int_{a}^{b} v d u \\ \int_{a}^{b} u d v = [u v]_{a}^{b} - \int_{a}^{b} v d u \end{matrix}

$\displaystyle\int_a^bf(x)\mathrm{d}x = 0 \quad (a=-b)$ .

5.4 反常积分

无穷限的反常积分

$f(x)$ $[a, +\infty)$ 上的反常积分：

lim_{t \to + \infty} \int_{a}^{t} f (x) d x

$f(x)$ $[a, + \infty)$ $\lim\limits_{t \to + \infty}\displaystyle\int_a^tf(x)\mathrm{d}x$ $\int_a^{+\infty}f(x)\mathrm{d}x$ $\int_a^{+\infty}f(x)\mathrm{d}x$ 发散。

$\lim\limits_{t \to -\infty}\displaystyle\int_t^bf(x)\mathrm{d}x$ $f(x)$ $(-\infty, b]$ 上的反常积分。

$f(x)$ $(-\infty, +\infty)$ $\displaystyle\int_{-\infty}^0f(x)\mathrm{d}x$ $\displaystyle\int_0^{+\infty}f(x)\mathrm{d}x$ $f(x)$ $(-\infty, +\infty)$ $\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\mathrm{d}x$ $\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\mathrm{d}x$ 收敛，其值为两分段反常积分的和，反之则发散。

无界函数的反常积分

$f(x)$ $a$ $a$ $f(x)$ 的瑕点（无界间断点）。无界函数的反常积分又称为瑕积分。

定义 2：

$f(x)$ $(a, b]$ $a$ $f(x)$ $\displaystyle\lim\limits_{t \to a^+}\int_t^b f(x)\mathrm{d}x$ $\displaystyle\int_a^bf(x)\mathrm{d}x$ 收敛，并称此极限为该反常积分的值；如果极限不存在，那么称反常积分发散。
$f(x)$ $[a, b)$ $b$ $f(x)$ $\displaystyle\lim\limits_{t \to b^-}\int_a^t f(x)\mathrm{d}x$ $\displaystyle\int_a^bf(x)\mathrm{d}x$ 收敛，并称此极限为该反常积分的值；如果极限不存在，那么称反常积分发散。
$f(x)$ $[a,c)$ $(a, b]$ $c$ $f(x)$ $\displaystyle\int_a^b f(x)\mathrm{d}x\quad(3)=\displaystyle\int_a^cf(x)\mathrm{d}x\quad(1) +\int_c^bf(x)\mathrm{d}x\quad (2)$ $f(x)$ $[a, b]$ 上的反常积分。若(1)(2)均收敛，那么(3)收敛，(1)+(2)=(3)；否则称反常积分(3)发散。

$\Gamma$ 函数

无穷限反常积分的审敛法

$f(x)$ $[a,\ +\infty)$ $f(x)\geqslant0$ $F(x)=\displaystyle\int_a^x f(t)\mathrm{d}t$ $[a, +\infty)$ $\displaystyle\int_a^{+\infty}f(x)\mathrm{d}x$ 收敛。

$f(x),\ g(x)$ $[a,\ +\infty)$ $0\leqslant f(x)\leqslant g(x)\ (a\leqslant x<+\infty)$ $\displaystyle\int_a^{+\infty}g(x)\mathrm d x$ $\displaystyle\int_a^{+\infty}f(x)\mathrm d x$ $0\leqslant g(x)\leqslant f(x)\ (a\leqslant x<+\infty)$ $\displaystyle\int_a^{+\infty}g(x)\mathrm d x$ $\displaystyle\int_a^{+\infty}f(x)\mathrm d x$ 也发散。

$f(x)$ $[a,\ +\infty)、 (a > 0)$ $f(x)\geqslant 0$ $M>0, p>1$ $f(x)\leqslant\frac M{x^p}\ (a\leqslant x < +\infty)$ $\displaystyle\int_a^{+\infty}f(x)\mathrm d x$ $N>0$ $f(x)\geqslant\frac Nx\ (a\leqslant x<+\infty)$ $\displaystyle\int_a^{+\infty}f(x)\mathrm d x$ 发散。

$f(x)$ $[a,\ +\infty]$ $f(x)\leqslant 0$ $p>1$ $\lim\limits_{x\to +\infty}x^p f(x) = c<+\infty$ $\displaystyle\int_a^{+\infty}f(x)\mathrm d x$ $\lim\limits_{x\to+\infty}x f(x)=d>0$ $\displaystyle\int_a^{+\infty}f(x)\mathrm d x$ 发散。

$f(x)$ $[a,\ +\infty)$ $\displaystyle\int_a^{+\infty}|f(x)|\mathrm d x$ $\displaystyle\int_a^{+\infty}f(x)\mathrm d x$ 收敛。此定理称为满足绝对收敛。

无界函数的反常积分审敛法

$f(x)$ $(a,\ b]$ $f(x)\geqslant 0,\ x=a$ $f(x)$ $M>0,q<1$ $f(x)\leqslant \frac M{(x-a)^q}\ (a<x\leqslant b)$ $\displaystyle\int_a^b f(x)\mathrm d x$ $N>0$ $f(x)\geqslant\frac N{x-a}\ (a<x\leqslant b)$ $\displaystyle\int_a^b f(x)\mathrm d x$ 发散。

$f(x)$ $(a,\ b]$ $f(x)\geqslant 0,\ x=a$ $f(x)$ $0<q<1$ $\lim\limits_{x\to a^+}(x-a)^q f(x)$ $\displaystyle\int_a^b f(x)\mathrm d x$ $\lim\limits_{x\to a^+}(x-a)f(x)=d>0$ $\displaystyle\int_a^b f(x)\mathrm d x$ 发散。

$\Gamma$ 函数

$\Gamma(s+1)=s\Gamma(s)\ (s>0)$
$s\to0^+$ $\Gamma(s)\to +\infty$
$\Gamma(s)\Gamma(1-s)=\frac\pi{\sin \pi s}\ (0<s<1)$
$\Gamma(s)=\displaystyle\int_0^{+\infty}e^{-x}x^{s-1}\mathrm d x$ $x=u^2$ $\Gamma(s)=2\displaystyle\int_0^{+\infty}e^{-u^2}u^{2s-1}\mathrm d u$
$s=\frac 1 2$ $2\displaystyle\int_0^{+\infty}e^{-u^2}\mathrm d u=\Gamma(\frac 1 2)=\sqrt\pi$
$\displaystyle\int_0^{+\infty}e^{-u^2}\mathrm d u=\frac{\sqrt\pi}2$

定积分的应用

6.1 定积分的元素法

$U$ 符合以下条件：

$U$ $x$ $[a,\ b]$ 有关的量；
$U$ $[a,\ b]$ $U$ 分成许多部分区间；
$\Delta U_i$ $f(\xi_i)\Delta x_i$

$U$ 。

积分表达式的步骤是：

$x$ $[a,\ b]$ ；
$[a,\ b]$ $n$ $[x,\ x+\mathrm d x]$ $\Delta U$ $x$ $f(x)$ $\mathrm d x$ $U$ 的元素：
$d U = f (x) d x$
在区间上的定积分：
$U = \int_{a}^{b} f (x) d x$

6.2 定积分在几何学上的应用

平面图形的面积

直角坐标
极坐标

体积

旋转体的体积
平行截面面积已知的立体体积

平面曲线的弧长

定理：光滑曲线弧是可求长的

6.3 定积分在物理上的应用

变力沿直线所作的功

水压力

引力

七. 微分方程

7.1 微分方程的基本概念

定义：

表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程，叫做微分方程。微分方程中出现未知函数的最高阶数，叫做微分方程的阶。
找出满足微分方程的函数，带入微分方程后称为恒等式，这个函数称为微分方程的解。如果微分方程中含有任一常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解称为微分方程的通解。
$y=\varphi(x)$ $x=x_0$ $y=y_0$ $y|_{x=x_0}=y_0$ $x_0,\ y_0$ $y|_{x=x_0}=y_0,\ y'|_{x=x_0}=y'_0$ $x_0,\ y_0,\ y'_0$ 都是给定值。上述条件叫做初值条件。
确定通解中任意常数之后，就得到了微分方程的特解。求微分方程满足初值条件的特解，叫做微分方程的初值问题。
积分方程的解是一条曲线，叫做微分方程的积分曲线

7.2 可分离变量的微分方程

一般地，如果一个一阶微分方程能写成

\begin{matrix} (1) & g (y) d y = f (x) d x \end{matrix}

$y$ $\mathrm d y$ $x$ $\mathrm d x$ ，那么原方程就称为可分离变量的微分方程。

$y=\varphi(x)$ 是方程的解，带入上述方程得恒等式

g [φ (x)] φ^{'} (x) d x = f (x) d x

$y=\varphi(x)$ $y$ ，得

\int g (y) d y = \int f (x) d x

$G(y),\ F(x)$ $g(y),\ f(x)$ 的原函数有

\begin{matrix} (2) & G (y) = F (x) + C \end{matrix}

(2)式叫做方程(1)的隐式通解。

7.3 齐次方程

齐次方程

如果微分方程可化成

\frac{d y}{d x} = φ (\frac{y}{x})

的形式，那么这方程为齐次方程

解题步骤

$\frac{\mathrm d y}{\mathrm d x}=\varphi(\frac y x)$ 的形式
$u=\frac y x$
$y=ux,\ \frac{\mathrm d y}{\mathrm d x}=\varphi u$
$\varphi(u)$
$\frac{\mathrm d u}{\varphi(u)}=\frac{\mathrm d x}{x}$
$\displaystyle\int\frac{\mathrm d u}{\varphi(u)}=\displaystyle\int\frac{\mathrm d x}x$
$\frac y x$ $u$ 得方程的通解

可化为齐次的方程

方程

\begin{matrix} (1) & \frac{d y}{d x} = \frac{a x + b y + c}{a_{1} x + b_{1} y + c_{1}} \end{matrix}

$c=c_1=0$ 时是齐次的，否则不是齐次的。在非齐次的情形下，可以通过变换把它变成齐次方程。令

x = X + h, y = Y + k

$h, k$ 是待定的常数，于是

d x = d X, d y = d Y

从而有

\frac{d Y}{d X} = \frac{a X + b Y + a h + b k + c}{a_{1} X + b_{1} Y + a_{1} h + c_{1}}

如果对于方程组

{\begin{cases} \begin{aligned} a h & + b k + c = 0, \\ a_{1} h & + b_{1} k + c_{1} = 0 \end{aligned} \end{cases}

的系数行列式

\begin{matrix} | \begin{array}{cc} a & b \\ a_{1} & b_{1} \end{array} | \neq 0 \end{matrix}

方程(1)可化为齐次方程

\frac{d Y}{d X} = \frac{a X + b Y}{a_{1} X + b_{1} Y}

$X \rarr x-h,\ Y \rarr y-k$ 代换后得到方程(1)的通解。

$h,\ k$ $\frac {a_1}a=\frac{b_1}b=\lambda$ ，从而方程(1)写成：

\frac{d y}{d x} = \frac{a x + b y + c}{λ (a x + b y) + c_{1}}

$v=ax+by$ ，则

\frac{d v}{d x} = a + b \frac{d y}{d x}

方程(1)成为

\frac{1}{b} (\frac{d v}{d x} - a) = \frac{v + c}{λ v + c_{1}}

这是可分离变量的方程。

7.4 一阶线性微分方程

线性方程

方程

\begin{matrix} (1) & \frac{d y}{d x} = P (x) y = Q (x) \end{matrix}

一阶线性微分方程 $Q(x)\equiv0$ 那么方程(1)成为齐次的，否则称为非齐次的。

为了求出非齐次方程的解，先换为齐次方程

\begin{matrix} (2) & \frac{d y}{d x} + P (x) = 0 \end{matrix}

方程(2)叫做对应于非齐次线性方程(1)的齐次线性方程，分离变量之后得

\frac{d y}{y} = - P (x) d x

两端积分积分得

\begin{matrix} (3) & \begin{matrix} \ln | y | = - \int P (x) d x + C_{1} \\ ⇓ \\ y = C e^{- \int P (x) d x} (C \pm e^{C_{1}}) \end{matrix} \end{matrix}

常数变易法 $C\rarr u(x)$ ，即作变换

\begin{matrix} (4) & y = u e^{- \int P (x) d x} \end{matrix}

于是

\begin{matrix} (5) & \frac{d y}{d x} = u^{'} e^{- \int P (x) d x} - u P (x) e^{- \int P (x) d x} \end{matrix}

将(4)和(5)带入方程(1)得

u^{'} e^{- \int P (x) d x} = Q (x), u^{'} = Q (x) e^{\int P (x) d x}

两端积分

u = \int Q (x) e^{\int P (x) d x} d x + C

把上式带入(4)得非齐次线性方程(1)的通解

\begin{matrix} y = e^{- \int P (x) d x} (\int Q (x) e^{\int P (x) d} d x + C) \\ y = C e^{- \int P (x) d x} + e^{- \int P (x) d x} \int Q (x) e^{\int P (x) d x} d x \end{matrix}

伯努利方程

方程

\frac{d y}{d x} + P (x) y = Q (x) y^{n}

伯努利方程 $n=0,\ n=1$ 为线性微分方程，否则不是线性的。

7.5 可降阶的高阶微分方程

$y^{(n)}=f(x)$ 型微分方程

$x$ $y^{(n-1)}$ 作为新的未知函数。两边积分得

y^{(n - 1)} = \int f (x) d x + C_{1}

接下来同理可得

y^{(n - 2)} = \int [\int f (x) d x + C_{1}] d x + C_{2}

$y''=f(x, y')$ 型微分方程

$y$ $y'=p$ ，那么

y^{″} = \frac{d p}{d x} = p^{'}

原方程得

p^{'} = f (x, p)

$x,\ p$ 得一阶微分方程，设其通解为

\begin{matrix} p = φ (x, C_{1}), \\ p = \frac{d y}{d x} . \\ ⇓ \\ \frac{d y}{d x} = φ (x, C_{1}) \end{matrix}

进行积分，得方程通解

y = \int φ (x, C_{1}) d x + C_{2}

$y''=(y,\ y')$ 型微分方程

$y'=p$ $y''$ $y$ 的导数

y^{″} = \frac{d p}{d} y^{″} = \frac{d p}{d x} = \frac{d p}{d y} \cdot \frac{d y}{d x} = p \frac{d p}{d y}

方程则变为

p \frac{d p}{d y} = f (y, p)

$y, p$ $y'=p=\varphi(y,\ C_1)$ ，分离变量并积分得原方程的通解为

\int \frac{d y}{φ (y, C_{1})} = x + C_{2}

7.6 高阶线性微分方程

二阶线性微分方程举例

线性微分方程解的结构

有二阶齐次线性方程

\begin{matrix} (1) & y^{″} + P (x) y^{'} + Q (x) y = 0 \end{matrix}

$y_1(x)$ $y_2(x)$ $y=C_1y_1(x)+C_2y_2(x)$ 也是方程的解。

$y_1(x),y_2(x),\cdots,y_n(x)$ $I$ $n$ $n$ $k_1,k_2,\cdots,k_n$ $x\in I$ 时恒有等式：

k_{1} y_{1} + k_{2} y_{2} + \dots + k_{n} y_{n} \equiv 0

$n$ $I$ 上线性相关；否则称线性无关。

$y_1(x)$ $y_2(x)$ 是方程的两个线性无关的特解，那么

y = C_{1} y_{1} (x) + C_{2} y_{2} (x)

就是方程的通解。

$y_1(x),y_2(x),\cdots,y_n(x)$ $n$ $y^{(n)}+a_1(x)y^{(n-1)}+\cdots+a_{n-1}(x)y'+a_n(x)y=0$ $n$ 个线性无关的解，那么，此方程的通解为

\begin{matrix} (2) & y = C_{1} y_{1} (x) + C_{2} y_{2} (x) + \dots + C_{n} y_{n} (x) \end{matrix}

$C_n$ 为任意常数。

$y^*(x)$ 是二阶非齐次线性方程

\begin{matrix} (3) & y^{″} + P (x) y^{'} + Q (x) = f (x) \end{matrix}

$Y(x)$ $y=Y(x)+y^*(x)$ 是二阶非齐次线性微分方程(3)的通解。

$f(x)$ $y''+P(x)y'+Q(x)y=f_1(x)+f_2(x)$ $y_1^*(x),\ y_2^*$ 分别是方程：

\begin{matrix} y^{″} + P (x) y^{'} + Q (x) y = f_{1} (x) \\ y^{″} + P (x) y^{'} + Q (x) y = f_{2} (x) \end{matrix}

$y_1^*(x)+y_2^*(x)$ 就是原方程的特解。

常数变易法

$Y(x)=C_1y_1(x)+C_2y_2(x)$ ，那么可以由常数变易法求非齐次方程(3)的通解。令

\begin{matrix} (4) & y = y_{1} (x) v_{1} + y_{2} (x) v_{2} \end{matrix}

对(4)式求导得

y^{'} = y_{1} v_{1}^{'} + y_{2} v_{2}^{'} + y_{1}^{'} v_{1} + y_{2}^{'} v_{2}

$y''$ $v_1'',\ v_2''$ $y_1v_1'+y_2v_2'=0$ $y'=y_1'v_1+y_2'v_2$ ，再求导得

y^{″} = y_{1}^{'} v_{1}^{'} + y_{2}^{'} v_{2}^{'} + y_{1}^{″} v_{1} + y_{2}^{″} v_{2}

$y,\ y',\ y''$ 带入方程并整理

y_{1}^{'} v_{1}^{'} + y_{2}^{'} v_{2}^{'} + (y_{1}^{″} + P y_{1}^{'} + Q y_{1}) v_{1} + (y_{2}^{″} + P y_{2}^{'} + Q y_{2}) v_{2} = f

$y_1,\ y_2$ 是齐次方程(1)的解，故上式即为

y_{1}^{'} v_{1}^{'} + y_{2}^{'} v_{2}^{'} = f

联立方程，有系数行列式

\begin{matrix} W = | \begin{array}{cc} y_{1} & y_{2} \\ y_{1}^{'} & y_{2}^{'} \end{array} | = y_{1} y_{2}^{'} - y_{1}^{'} y_{2} \neq 0 \end{matrix}

$v_1'=-\frac{y_2f}{W},\ v_2'=\frac{y_1f}{W}$

对上两式积分得

v_{1} = C_{1} + \int (- \frac{y_{2} f}{W}) d x, v_{2} = C_{2} + \int \frac{y_{1} f}{W} d x

于是得非齐次方程(3)的通解为

y = C_{1} y_{1} + C_{2} y_{2} - y_{1} \int \frac{y_{2} f}{W} d x + y_{2} \int \frac{y_{1} f}{W} d x

7.7 常系数齐次线性微分方程

二阶齐次线性微分方程

\begin{matrix} (1) & y^{″} + P (x) y^{'} + Q (x) y = 0 \end{matrix}

$y',y$ $P(x),\ Q(x)$ 均为常数，即(1)式成为

\begin{matrix} (2) & y^{″} + p y^{'} + q y = 0 \end{matrix}

$p,q$ 二阶常系数齐次线性微分方程 $p,q$ 不全为常数，称(1)为二阶变系数齐次线性微分方程。

$y''+py'+qy=0$ 的通解步骤如下：

写出微分方程(2)的特征方程：
$\begin{matrix} (3) & r^{2} + p r + q = 0 \end{matrix}$
$r_1,\ r_2$

根据特征方程(3)的两个根的不同情形，按照下列表格写出微分方程(2)的通解

$r_1,\ r_2$	通解
两个不相等的实根	$y=C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x}$
$r_1=r_2$	$y=(C_1+C_2x)e^{r_1x}$
$r_{1,2}=\alpha\pm\beta i$	$y=e^{\alpha x}(C_1\cos\beta x+C_2\sin\beta x)$

n 阶常系数齐次线性微分方程的一般形式是

\begin{matrix} (4) & y^{(n)} + p_{1} y^{(n - 1)} + p_{2} y^{(n - 2)} + \dots + p_{n - 1} y^{'} + p_{n} y = 0 \end{matrix}

$\mathrm D$ $x$ $\frac{\mathrm d}{\mathrm d x}$ $\frac{\mathrm d y}{\mathrm d x}$ $\mathrm Dy$ $\frac{\mathrm d^n y}{\mathrm d x^n}$ $\mathrm D^n y$ ，并把方程记作

\begin{matrix} (5) & (D^{n} + p_{1} D^{n - 1} + \dots + p_{n - 1} D + p_{n}) y = 0 \end{matrix}

记

L (D) = D^{n} + p_{1} D^{n - 1} + \dots + p_{n - 1} D

$L(\mathrm D)$ 微分算子 D 的 n 次多项式 $L(\mathrm D)y=0$ $y=e^{rx}$ 带入方程，得

L (r) e^{r x} = 0

$r$ $n$ $L(r)=0$ ，即

\begin{matrix} (6) & r^{n} + p_{1} r^{n - 1} + p_{2} r^{n - 2} + \dots + p_{n - 1} r + p_{n} = 0 \end{matrix}

$y=e^{rx}$ 就是方程(5)的一个解。方程(6)是方程(5)的特征方程。

根据特征方程的根，写出如下的解：

特征方程的根	通解中的对应项
$r$	$Ce^{rx}$
$r_{1,2}=\alpha\pm\beta \mathrm i$	$e^{\alpha x}(C_1\cos\beta x+C_2\sin\beta x)$
$k$ $r$	$k$ $e^{rx}(C_1+C_2 x+\cdots+C_k x^{k-1})$
$k$ $r_{1,2}=\alpha\pm\beta \mathrm i$	$2k$ $e^{\alpha x}[(C_1+C_2 x+\cdots+C_k x^{k-1})\cos\beta x+(D_1+D_2 x+\cdots+D_k x^{k-1})\sin\beta x]$

7.8 常系数非齐次线性微分方程

$f(x)$ 的两种形式为：

$f(x)=e^{\lambda x}P_m(x)$ $\lambda$ $P_m(x)$ $x$ $m$ 次多项式：
$P_{m} (x) = a_{0} x^{m} + a_{1} x^{m - 1} + \dots + a_{m - 1} x + a_{m}$
$f(x)=e^{\lambda x}[P_l(x)\cos\omega x+Q_n(x)\sin\omega x]$ $\lambda,\ \omega$ $\omega\neq0, P_l(x),\ Q_n(x)$ $x$ $l,\ n$ 次多项式，且仅有一个可为零。

$f(x)=e^{\lambda x}P_m(x)$

$f(x)=e^{\lambda x}[P_1(x)\cos\omega x+Q_n(x)\sin\omega x]$

7.9 欧拉方程

x^{n} y^{(n)} + p_{1} x^{n - 1} y^{(n - 1)} + \dots + p_{n - 1} x y^{'} + p_{n} y = f (x)

$p_1,p_2,\cdots,p_n$ 为常数，叫做欧拉方程

$x=e^t,\ t=\ln x$ $x$ $t$ ，有：

\begin{aligned} \frac{d y}{d x} & = \frac{d y}{d t} \cdot \frac{d t}{d x} = \frac{1}{x} \frac{d y}{d t}, \\ \frac{d^{2} y}{d x^{2}} & = \frac{1}{x^{2}} (\frac{d^{2} y}{d t^{2}} - \frac{d y}{d t}), \\ \frac{d^{3} y}{d x^{3}} & = \frac{1}{x^{3}} (\frac{d^{3} y}{d t^{3}} - 3 \frac{d^{2} y}{d t^{2}} + 2 \frac{d y}{d t}) \end{aligned}

一般地有

x^{k} y^{(k)} = D (D - 1) \dots (D - k + 1) y

$t$ $t$ $\ln x$ ，即得方程的解。

高等数学（上）

一. 函数与极限

1.1 集合与函数

映射与函数

函数的特性

反函数

复合函数

初等函数

1.2 数列的极限

数列

数列的极限

数列极限的性质

1.3 函数的极限

函数极限的性质

1.4 无穷大与无穷小

无穷小

无穷大

无穷大与无穷小之间的关系

1.5 极限运算法则

1.6 极限存在准则 两个重要极限

夹逼准则

柯西极限存在准则

重要极限

1.7 无穷小的比较

1.8 函数的连续性与间断点

函数的连续性

函数的间断点

1.9 连续函数的运算与初等函数的连续性

连续函数的和、差、积、商的连续性

反函数与复合函数的连续性

初等函数的连续性

1.10 闭区间上连续函数的性质

有界性与最大值和最小值定理

零点定理和介值定理

一致连续性

1.10-1 求极限的方法总结

定义法

夹逼定理

无穷小量的代换

函数的连续

洛必达法则

泰勒展开

二. 导数与微分

2.1 导数的概念

导数的概念

单侧导数

函数可导性与连续性的关系

2.2 导数的运算法则及基本公式

导数的运算法则

运算公式

2.3 高阶导数

常见高阶导数公式

2.4 隐函数与参数方程导数

隐函数求导

参数方程求导

相关变化率

2.5 函数的微分

微分的定义

微分的基本公式和运算法则

复合函数的微分

近似计算

误差估计

三. 中值定理与导数的应用

3.1 微分中值定理

罗尔定理

拉格朗日中值定理

拉格朗日中值定理的证明

柯西中值定理

柯西中值定理的证明

3.2 洛必达法则

洛必达法则定义定理

洛必达法则的证明

其他形式的未定式

3.3 泰勒公式

问题的提出

泰勒中值定理

余项的表示

麦克劳林公式

一些函数带有拉格朗日余项的nn阶麦克劳林公式

3.4 函数的单调性与曲线的凹凸性

1.6 极限存在准则两个重要极限

$n$ 阶麦克劳林公式

$\Gamma$ 函数

$\Gamma$ 函数